İhtimaller Hesabı Nedir

1-)Alm. Wahrscheinlich keitsrechnung, Fr. Probabilites, İng. Probability. Bir deney sonunda çıkması muhtemel olayların çıkma şanslarını inceleyen bir matematik dalı. İlk çıkışı şans oyunlarına dayanmakta ise de günümüzde pekçok uygulama alanına sahiptir. Mesela kaza, ölüm, hastalık veya hırsızlık olaylarına karşı sigorta masrafının belirlenmesinde, bu olayların meydana gelme ihtimalinin bilinmesi gerekir. Buna benzer, sanayide kalite kontrolü ve bunun ölçülmesi ihtimaller hesabı yardımıyla yapılır. İhtimaller hesabı kullandığı matematik metodlarla, istatistiğin temelini teşkil eder.

İhtimaller hesabının temelleri:

İhtimaller hesabı, bir olayda mümkün sonuçları ihtiva eden, Örnek Uzay üzerine kurulmuştur. Mesela, bir paranın atılması sonuçlarını ihtiva eden Örnek Uzay, “yazı” ve “tura” gibi iki elemana sahiptir. Bu elemanlardan birinin ortaya çıkma ihtimali 1/2’dir. İkisinden birinin ortaya çıkma ihtimali ise 1/2 + 1/2=1, yani kesindir. Bir olay muhakkak ortaya çıkacaksa, ihtimali birdir. Eğer hiç ortaya çıkmayacaksa, ihtimali sıfırdır. Bir olay A ile gösterilirse, bunun meydana gelme ihtimali P (A) ile gösterilir. Bu değer, sıfır ile bir arasında bir değerdir. Mesela P (A)= 0,98 ise bu olayın ortaya çıkması 100’de 98 olarak görülür.

Bir olayın ihtimalinin bulunması için olayın Örnek Uzaydaki eleman sayısı(n) belirlenir. Gözönüne alınan olayın bu elemanlardan kaç tanesini kapsadığı (r) ile hesaplanır. P (A)= r/n olarak bulunur.

Mesela, bir zar atışında çift sayılar gelme ihtimali P (A)= 3/6= 0,50’dir. Böyle bir hesapta Örnek Uzay elemanlarının ortaya çıkma ihtimalinin hepsinin eşit olduğu kabul edilmiştir. Mesela, belirli bir gün havanın yağışlı olacağının ihtimalini Örnek Uzayın yağışlı ve yağışsız iki elemanı var diye, P (A)= 1/2 şeklinde hesaplamak yanlış olur. Çünkü iki olayın meydana gelme ihtimali genellikle eşit değildir. Bunun gibi, kibrit kutusunun yüzleri zar gibi numaralandırılırsa, Örnek Uzayın elemanlarının çıkma ihtimali eşit değildir. Yani, Örnek Uzay, eş olumlu değildir. P (A)= S (A)/ S(E)= r/n formülü, eş olumlu olaylar için geçerlidir.

İhtimalin bulunmasında diğer bir yol da, olayı çok defa tekrarlayarak meydana gelme sayısını belirlemekle olur. Mesela bir zarda 1 veya 2 sayılarının meydana gelmesinin ihtimalini belirlemek için 1000 defa zarın atıldığını ve 1 veya 2’nin ancak 326 defa meydana geldiğini kabul edelim. Bu durumda bu olayın ihtimali yaklaşık olarak P (A)= 0,326 denir. Kesin değer ancak olayın sonsuz defa tekrarlanması ile bulunur. Bu tür metodun uygulanamamasında en önemli engel, tabiatta pekçok olayın kolay tekrarlanmamasıdır.

Ayrık olayların ihtimali: Eğer iki olay beraber meydana gelemiyorsa, bunlardan ikisinden birinin ortaya çıkma ihtimali, ayrı ayrı ihtimallerin toplamı olarak hesaplanır. Bu kural:

P(AÈB)= P(A) + P (B)

formülüyle ifade edilir. Mesela bir zar atışında 1 veya 2’nin çıkması birbirinden bağımsız olup:

P (1 veya 2)= 1/6 + 1/6= 1/3

olarak hesaplanır.

Ayrık olmayan, yani arakesitleri boş olmayan iki olay için:

P (AÈB) = P(A) + P (B) - P(AÇB)

formülü kullanılır.

Şartlı olayların ihtimali: Bazı durumlarda B olayının ortaya çıkmasından sonra, A olayının ortaya çıkma ihtimali aranır. Bu tür olaya şartlı olay ismi verilir. İhtimali P(A/B) şeklinde yazılır. Mesela bir kimsenin 65’ten daha yaşlı olması A olayı ve kadın olması B olayı olarak görülebilir. Olayın ihtimalini hesaplayabilmek için, B olayının meydana gelmediği olaylar atılarak yeni bir Örnek Uzay elde edilir. Sonra burada A olayının meydana geldiği elemanların bu yeni uzaydaki ihtimali hesaplanır. Bu hesap:

P (A/B)= P(AÇB) / P(B)

olarak formüle edilebilir. Burada A B, her iki olayın beraber gelmesini göstermektedir.

Mesela bir torbada 1’den 10’a kadar numaralanmış kartlar bulunsun. Çekilen kart yeniden torbaya konulmamak üzere sıra ile 1 ve 2 numarayı çekme ihtimali hesaplanırsa:

1 numaralı kartı çekme ihtimali P (B)= 1/10,

2 numaralı kartı çekme ihtimali P (A/B)= 1/9

olup, yukarıdaki formüle göre:

P (AÇB)= 1/10. 1/9= 1/90

olur. Kartların 10’a kadar sıra ile çekilme ihtimali 1/10, kartların torbaya atılarak 1’den 10’a kadar sıra ile çekilme ihtimali ise 1/10. 1/10. 1/10...... = 1/1010= 1/ 10 milyar olur.

Bağımsız olaylar:

Eğer iki olaydan birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelme ihtimaline tesir etmiyorsa, bu iki olay bağımsız olarak isimlendirilir. Eğer A ve B gibi iki olay birbirinden bağımsız ise:

P(A/B)= P(A) veya P(AÇB)= P(A).P(B)

yazılabilir. Mesela zar atışında 1’in ortaya çıkmasının ihtimali 1/6 ve 2’nin ortaya çıkma ihtimali 1/6’dır. İki atışta 2’den sonra 1’in ortaya çıkma ihtimalinin 1/6 olması birinci eşitliği göstermektedir. 1 ve 2’nin arka arkaya çıkma ihtimalinin (1/6).(1/6)= 1/36 olması da ikinci eşitliğine örnektir.

Binom dağılımı:

Başarıya ulaşma ihtimali p olan bir olay, gözönüne alınsın. Bu olay, birbirinden bağımsız n defa tekrar edilsin. Olayın tam x kere başarılı olmasının ihtimali:

b(x; n,p)= ç(n, x)px(1-p)n-x

formülü ile hesaplanabilir. Burada ç (n,x), n elemandan x eleman sayısı ile yapılabilecek farklı kombinasyon sayısını göstermektedir. Belirli bir n ve p değerleri için olan b (x;n,p) değerlerine, binom dağılımı denir. Mesela bir tohumun filizlenme ihtimali 0,8 kabul edilirse, ekilen 10 tohumdan tam 8’inin filizlenmesi:

b(8;10,0,8)= C(10,8) (0,8)8 (0,2)2= 0,302

bulunur ki yaklaşık olarak 0,3 kabul edilebilir.

2-)Olasılık hesabı.

Bu bilgi faydalı oldu mu ?